Pojęcie nieskończoności z definicji przekracza wyobraźnię. Starając się myśleć o nieskończoności, stajemy naprzeciw przeszkody wydawałoby się nie do pokonania: wysiłkiem umysłu przesuwamy jedynie granicę naszych wyobrażeń coraz dalej, wciąż jednak pozostawiając horyzont w skończonej odległości. Tym bardziej zadziwiający, dla tego, kto zetknął się z nim po raz pierwszy, jest fakt, iż u podstaw matematyki leży teoria, która już dawno sięgnęła poza granice dostępne naiwnej wyobraźni i pokazała, choć brzmi to zabawnie, że nieskończoność jest w istocie znacznie większa, niż by się mogło wydawać.
Teoria, o której mowa, zawdzięcza swe powstanie w głównej mierze pracy niemieckiego matematyka, aktywnego twórczo w drugiej połowie XIXw., Georga Cantora (1845-1918). Cantor, rozważając własności liczb, dał początek teorii, którą ochrzczono mianem teorii mnogości i która po dopracowaniu w celu usunięcia wewnętrznych sprzeczności, na początku XXw. uzyskała swoją najczęściej akceptowaną postać pod nazwą ZFC, czyli teorii mnogości Zermelo-Fraenkela.
Elementarnym pojęciem w teorii mnogości jest zbiór. Zbiór to byt, który składa się ze swoich elementów i który spełnia szereg aksjomatów. Naturalny, choć może mało ciekawy, wydaje się podział klasy wszystkich zbiorów skończonych na zbiory o określonej liczbie elementów. Ponieważ potrafimy powiedzieć, ile elementów zawiera każdy zbiór skończony, taki podział nie przedstawia trudności. Pytanie, na które postaramy się odpowiedzieć, nasuwa się samo:
Czy podział zbiorów ze względu na liczbę ich elementów da się w sensowny sposób uogólnić również na zbiory nieskończone, a jeśli tak, to czy takie zbiory można uporządkować w sposób, w jaki porządkuje się liczby naturalne przedstawiające liczebność zbiorów skończonych?Zrozumienie, dalczego odpoweidź na to pytanie jest twierdząca, pozwoli odkryć część istoty pojęcia nieskończoności.
Uwagi:
- ZFC to skrót od nawisk Zermelo, Fraenkel oraz słowa choice mówiącego o dodaniu do zestawu aksjomatów tzw. pewnika wyboru.
